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Mandelbrot集(2)：如何画，"长"什么样？

（yanlb2000, 2007.04.27, yanlb2000.blogcn.com）

上次，我简单介绍了Mandelbrot集的定义。这个定义和相应的运算，都是抽象的数学概念和过程。现在，我们要将M集这个数学概念形象地画出来，看看到底"长"什么模样。特别是，我们要好好看看M集的边界！

我们要将复数平面上的图像画到我们的电脑屏幕上。这么做。首先定义一个复数平面区间，并将这个区间映射到屏幕作图区域上。这样，屏幕上每个作图点，就对应了一个复数。要决定这幅"画"怎么画，其实也很简单，只要定义每个作图点的颜色就行了。屏幕上的图画，不都是由彩色的点阵组成的么？

如上，对于屏幕上的一个绘图点，我们可以算出其对应的复数值。然后，根据前文的迭代公式，进行运算。

如果在有限次数之内（比如256次），运算结果都不超过给定的常数值（比如2)，那么就认为该点属于M集。其对应颜色是黑色。

如果在上述有限次数之内，运算结果超出给定常数值，那么就认为该点不属于M集。给其赋予另外的颜色。而且，为了使画面颜色丰富，也为了形象地表示出该点是经过了多少次运算的，所以，根据运算的次数，来决定一个相应的颜色。

由上述算法，对作图区域上每个点都可以算出其颜色值了。接下来的任务，就是把这个算法编制成程序来实现了。

实际上，该算法并不复杂。所以，网上随便搜一下，就有大把的画Mandelbrot集的软件。

下面，还是实际看一下，这个M集是什么样子的吧。

先来看看Mandelbrot集的全貌。

是不是象个葫芦？其中，红线为x轴和y轴，两轴交叉处即为原点(0, 0)。图像最左端是(-2, 0)。

图中，靠近原点的一片区域是黑色。这表示，这些区域对应的任意一个复数，经过制定次数的迭代运算之后，结果序列的绝对值都没能超过指定的常数(一般还是选该常数R＝2)。所以，暂且认为它们是或可能是属于M集的。它们被描绘成黑色。

同时地，图像最外围是也黑色。这些区域表示，其中的点对应的任意复数C，其绝对值（到原点距离）早就超过2了。甚至不用做迭代，就可知它们不属于M集。它们也被描绘成黑色。

从最外围逐渐往原点靠近，情况变得微妙起来。有些点，可能其本身绝对值没有超过2。但是，经过若干次迭代运算之后，绝对值就超过2了。这些点显然也不属于M集。为了使图像丰富多彩，更为了表明该区域的点的特性，所以，根据它们需要迭代运算的次数n，来决定这个点的颜色。具体的颜色当然可以任意，但为了表达这种渐变的特性，所以让相邻大小的次数，其色彩值也是渐变的。（如上所述，颜色值是由运算次数来决定的。）

可以看到随着向原点的接近，需要迭代的次数也逐渐增加，色彩也相应渐渐变化。

所以，在这个图像中，最外围的黑色区域，以及所有有颜色的区域，都不属于M集。而每点不同的颜色，表明该点需要迭代运算的次数。只有中间那片黑色，才是M集的范围。

显然，这个区域的形状，出乎人们最初的预计。比如，我原来的第一判断是，这应该是个简单的园。然而，事实上，这个葫芦状的区域有点古怪，复杂得超出我们的预料。

通过计算和图形显示可发现，这个区域的边界非常地"不确定"。在黑色连接颜色区域(M集过渡到非M集)的地方，却也是最复杂、最精彩的地方。这里，没有一条明确的界线，将M集和非M集区分开来。对于这些区域的每个点，只能是实际地迭代运算一番，才能得出结论说，该点不属于M集，或者是可能属于M集。

所以，这个区域，显然是个开区间。

这个区域，其行为是"混沌"的。

这个边界，具备所谓的"分形"特性。

这个边界，是处处连续但处处不可微的。

好，我们不防将这个图像的某些区域放大，来一次M集上的旅行吧。也正好领略一下其复杂和精细的结构。

下面的第一幅图像，是前面那个大图的红色小框区域的放大。接下来的每个图像上的红色小框区域，代表了下一个将要放大的区域。