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Mandelbrot集(1)：定义
（yanlb2000, 2007.04.26, yanlb2000.blogcn.com）
Mandelbrot集(Mandelbrot Set，有人译为曼德尔布罗特集，我觉得挺拗口，还是直接写为Mandelbrote集,或简称M集)是分形(Fractal)和混沌(Chaos)领域的最著名最典型的话题。那个类似葫芦一样的分形图案，几乎成了混沌和分形的象征。
我很早就对分形感兴趣了。所以，这里，我也准备写在博客上，既是总结，也是给大家介绍一下。
分形和混沌是比较新兴的学科，其涉及的领域也很多。我这里，主要还是介绍一下最著名的Mandelbrt集。
对于复数平面上的一个点C，以及作为变量的复数Z（初始值为0），定义一个迭代运算过程：
Z := Z^2 + C，
或者写为
Zn+1 = Zn ^ 2 + C
这个过程将产生一系列的 Z0, Z1, Z2, ...。
我们要考察的是Zn离原点的距离，即abs(Zn)。如果无论经过多少次运算，Zn 的绝对值都是有限的，就说C点属于Mandelbrot集。如果经过有限次数的运算之后，其绝对值可超过任意给定的值，（比如说R=2)，那么就说C点不属于Mandelbrot集。
如果你对复数平面不熟悉，那也可以理解为一个普通的二维平面，其上每个点都有x和y方向的坐标，这个点就代表了一个复数 C = x + y*i。x和y就是这个复数的实部和虚部。
显然，Mandelbrot集是个抽象的数学概念。经过一些试验计算，我们可以发现，那些离原点比较远的点，肯定是不属于M集的，不断地平方再加自己，可以迅速超过任何给定数值。而那些离原点很近的点，则无论如何都不可能变大。因此，那些紧靠原点的点，显然属于M集。而远离原点的，肯定不属于M集。
现在问题来了，在M集和非M集之间，分界线在哪里？有没有一个明确的界线，将M集和非M集划分开来？或者说，能明确地给出这个界线的定义（解析式）吗？又或者说，有没有一个明确而简便的方法，使我们可以对任意一个复数C，给出其是否属于M集的结论？
很遗憾，这个问题远非相像的那么简单。没有这样的简单方法，没有这样明确的界线。
对于一个给定复数C，除了实际验算，无法给出明确的答案。
而就算根据前面的定义实际验算了，结论也是复杂的。
如果经过一定次数的迭代运算，Z的绝对值超出了设定的常数R。那么很好，这个C不属于M集。
但也有可能，就算经过1000次运算，其绝对值还是很小。那么，就可以说C属于M集了吗？不一定！有可能，在接下来的1001次或更以后，就可以发现Z超出了R！
按理，上述迭代过程是个非常确定性的过程，而且很简单。所以，对于任意一个给定的C，其是否属于M集，应该是确定的。但实际上，对于某些C值，我们有可能无论经过多少次迭代，都无法给出结论，而我们又不能说，这个C就不属于M集了，因为说不定增加迭代次数，就发现超出R了。结果不明，这就是“混沌”了。
Tags: Mandelbrot, 分形, 混沌
